Cho đường tròn (C) có phương trình (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4, thực hiện lần lượt phép

Cho đường tròn (C) có phương trình (x − 2)² + (y − 2)² = 4, thực hiện lần lượt phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép quay tâm O góc (90°) biến đường tròn (C) thành đường tròn nào ?

A. (x + 2)² + (y ‒ 1)² = 16.

B. (x ‒ 1)² + (y ‒ 1)² = 16.

C. (x + 4)² + (y ‒ 4)² = 16.

D. (x ‒ 2)² + (y ‒ 2)² = 16.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I(2;2) và bán kính R = 2.

Gọi \(I'\left( {x';y'} \right) = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( I \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI'} = 2\overrightarrow {OI} \Rightarrow \left( {x';y'} \right) = 2\left( {2;2} \right)\)

⇒ I’(4; 4).

\( \Rightarrow \) Ảnh của đường tròn (C) qua V_(O;2) (I) là đường tròn tâm I’(4; 4) và bán kính \(R' = \left| 2 \right| \cdot R = 4\)

Gọi I’’(x’’; y’’) = Q_{(O; 90°)} (I’) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' = 4{\rm{cos}}90^\circ - 4{\rm{sin}}90^\circ = - 4}\\{y'' = 4{\rm{sin}}90^\circ + 4{\rm{cos}}90^\circ = 4}\end{array} \Rightarrow I''\left( { - 4;4} \right)} \right.\)

Phép quay không làm thay đổi bán kính của đường tròn, do đó ảnh của đường tròn (C’) qua phép quay Q_{(O; 90°)} là đường tròn có tâm I’’(‒4; 4) và bán kính bằng 4, do đó có phương trình: (x + 4)² + (y ‒ 4)² = 16.

Đáp án cần chọn là: C