Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và tích phân từ -1 đến 1 của f(x)dx=4

Câu hỏi:

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và

$\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$ . Kết quả

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đặt t = −x Þ dt = − dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ , khi đó:

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = - \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{1 + \frac{1}{e^{t}}} d t$

$= \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{\frac{e^{t} + 1}{e^{t}}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (- t)}{e^{t} + 1} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x$

Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1]

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow I + I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$

Vậy $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x = 3; \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$ . Tính $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Xem lời giải »

Câu 7:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5?

Xem lời giải »

Câu 8:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x + 1$ lần lượt là M, m. Tính tổng M + m.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và tích phân từ -1 đến 1 của f(x)dx=4

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: