Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD. a) Chứng minh AD = BC. b) Gọi E là giao điể

Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD.

a) Chứng minh AD = BC.

b) Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh ∆EAC = ∆EBD.

c) Chứng minh OE là phân giác của $\widehat {xOy}$.

Lời giải

a) Ta có OA = OB và AC = BD.

Suy ra OA + AC = OB + BD.

Do đó OC = OD.

Xét ∆OAD và ∆OBC, có:

$\widehat {AOD}$ là góc chung;

OA = OB (giả thiết);

OD = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆OAD = ∆OBC (c.g.c).

Vậy AD = BC (cặp cạnh tương ứng).

b) Ta có $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ$ và $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ$ (các cặp góc kề bù).

Mà $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (do ∆OAD = ∆OBC).

Suy ra $\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}$.

Xét ∆EAC và ∆EBD, có:

AC = BD (giả thiết);

$\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}$ (chứng minh trên);

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$ (do ∆OAD = ∆OBC).

Vậy ∆EAC = ∆EBD (g.c.g).

c) Xét ∆OED và ∆OEC, có:

OE là cạnh chung;

OD = OC (chứng minh trên);

ED = EC (do ∆EAC = ∆EBD).

Do đó ∆OED = ∆OEC (c.c.c).

Suy ra $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$ (cặp góc tương ứng).

Vậy OE là phân giác của $\widehat {xOy}$.