Cho H, K là các giao điểm của đường tròn (O1), (O2). Đường thẳng O1H cắt (O1) tại A, (O2) tại B. O2H cắt (O1) tại C và (O2) tại D. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại 1 điể

Cho H, K là các giao điểm của đường tròn (O₁), (O₂). Đường thẳng O₁H cắt (O₁) tại A, (O₂) tại B. O₂H cắt (O₁) tại C và (O₂) tại D. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Vì các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn (O₁) có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C và tam giác AKH vuông tại K.

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}DC\perp AE\\ HK\perp AK\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Vì các tam giác HDK, HDB nội tiếp đường tròn (O₂) có cạnh HD là đường kính nên tam giác HDK vuông tại K và tam giác HBD vuông tại B.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB\perp DE\\ HK\perp KD\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(3\right)\\ \left(4\right)\end{array}$

Từ (2), (4), suy ra ba điểm A, K, D thẳng hàng.

Do đó HK ⊥ AD.

Từ (1), (3), suy ra H là trực tâm của tam giác AED.

Do đó HE ⊥ AD.

Vì vậy H ∈ EK.

Vậy ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.