Cho hai số dương x;y thỏa mãn điều kiện x + y < = 1. Chứng minh: x^2 - 3/4x - x/y
Câu hỏi:
Cho hai số dương x;y thỏa mãn điều kiện x+y ≤ 1. Chứng minh: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Trả lời:
Ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow 4x \le \frac{1}{y} \Leftrightarrow 4{x^2} \le \frac{x}{y} \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{y} \le - 4{x^2}\).
Suy ra: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le {x^2} - \frac{3}{{4x}} - 4{x^2} = - 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{4x}}} \right) \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Vì \({x^2} + \frac{1}{{4x}} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) - \frac{1}{4} \ge 0 + 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Tính tích phân\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} \).
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 4, BC = 3. I là trung điểm BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} } \right|;\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right|\).
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho tam giác đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Xem lời giải »
Câu 5:
Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = {1; 2; ...; 11}. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Xem lời giải »
Câu 6:
Tính giá trị biểu thức sau : B = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°.
Xem lời giải »
Câu 7:
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Xem lời giải »
Câu 8:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và là số chẵn?
Xem lời giải »
