cho hàm số 2 2 3 x y x . viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại 2 điểm a, b sao cho tam giác oab cân tại gốc o.

Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}$ (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ 0.

$y=\frac{x+2}{2x+3}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{-1}{{(2x+3)}^2}$

Gọi điểm M(x₀; y₀)  $\left(x_0\ne \frac{-3}{2}\right)$ thuộc đồ thị hàm số (C).

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

$y=\frac{-1}{{(2x+3)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+2}{2x_0+3}$

Tiếp tuyến giao với trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x.

+) Trường hợp 1: d vuông góc với đường phân giác y = x thì ta được:

 $\frac{-1}{{(2x+3)}^2}\cdot (-1)=-1\iff {\left(2x_0+3\right)}^2=-1$

 $\left[\begin{array}{l}2x_0+3=1\\ 2x_0+3=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-1\Rightarrow y_0=1\\ x_0=-2\Rightarrow y_0=0\end{array}\right.$

Với x₀ = −1; y₀ = 1 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y = −x (loại)

Với x₀ = −2; y₀ = 0 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: 

y = −x − 2
+) Trường hợp 2: d vuông góc với đường phân giác y = −x thì ta được:

 $\frac{-1}{{(2x+3)}^2}\cdot (-1)=-1\iff {\left(2x_0+3\right)}^2=-1$ (KTM)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −x – 2.