Cho hàm số giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng 2 khi

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+6$ giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[0;3\right]$ bằng 2 khi:

A. $m=2$

B. $m=\frac{31}{27}$

C. $m>\frac{3}{2}$

D. $m=1$

Trả lời:

TXĐ: D = R

$y\text{'}=3x^2-6mx$

Ta có:  $y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=6\\ x=2m\Rightarrow y=-4m^3+6\end{array}\right.$

Xét TH1: m = 0. Hàm số đồng biến trên $\left[0;3\right]\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(0\right)=6\Rightarrow$ loại

Xét TH2: $m\ge \frac{3}{2}\Rightarrow 2m\ge 3>0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên  $\left[0;3\right]\subset \left[0;2m\right]$ $\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(3\right)=33-27m=2\Rightarrow m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}$

(loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0; 6) và điểm cực tiểu là  $\left(2m,-4m^3+6\right)$

Khi đó, GTNN trên $\left[0;3\right]$ là  $y\left(2m\right)=-4m^3+6\Rightarrow -4m^3+6=2\iff m^3=1\iff m=1\left(tm\right)$

Xét TH4: $m<0\Rightarrow \left(0;6\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[0;3\right]$hàm số đồng biến.

$\Rightarrow y_{\min }=6\Rightarrow$ loại

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D