Cho hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (a = 1) có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua A(-1; 0)

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a = 1) có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua A(−1; 0), tiếp tuyến d tại A của (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng $\frac{{28}}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = −1; x = 0.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 0); (1; 0) nên ta có:

y = (x² − 1)(x² − m) = x⁴ − (1 + m)x² + m (m > 1)

y¢ = 4x³ − 2(1 + m)x = 2x(2x² − 1 − m)

y¢(−1) = −2(1 − m) = 2m − 2

Phương trình tiếp tuyến tại A(−1; 0) có phương trình y = (2m − 2)(x + 1)

$\int\limits_0^2 {\left[ {\left( {2m - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^4} - \left( {1 + m} \right){x^2} + m} \right)} \right]dx} = \frac{{28}}{5}$

$\Leftrightarrow \left. {\left( {2m - 2} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\;} \right|_0^2 - \;\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \left( {1 + m} \right)\frac{{{x^3}}}{3} + mx} \right)\;} \right|_0^2 = \frac{{28}}{5}$

$\Leftrightarrow 4\left( {2m - 2} \right) + \frac{8}{5} - 2m = \frac{{28}}{5}$

Û 6m = 12 Û m = 2

Khi đó hàm số (C) có dạng: y = (x² − 2)(x² − 1) = x⁴ − 3x² + 2

Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: y = 2x + 2

$S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^4} - 3{x^2} + 2 - 2x - 2} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^4} - 3{x^2} - 2x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - {x^2}} \right)\;} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$.