Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$. Đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ như hình bên. Đặt $g\left(x\right)=2f\left(x\right)+x^2+3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = g(x) đạt cực tiểu tại x = 1 

B. Hàm số $y=g\left(x\right)$  đồng biến trên $\left(-3;1\right)$

C. Hàm số $y=g\left(x\right)$  nghịch biến trên $\left(0;3\right)$

D. Hàm số $y=g\left(x\right)$  đạt cực tiểu tại $x=3$

Trả lời:

Đáp án A

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(x\right)+2x$

Phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=-x$ (1).

Ta vẽ đồ thị $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ và đường thẳng $y=-x$ trên cùng một hệ trục tọa độ (như hình vẽ).

Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên.

Xét trên khoảng $\left(-3;3\right)$ ta có:

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được hàm số $y=g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=1$