Cho hàm số y = (x- 2)/(x + 1) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận

Câu hỏi:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$

Trả lời:

Đáp án A

Ta có x = - 1 là TCĐ của đồ thị hàm số, y = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow I (- 1; 1)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của dồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $Δ I A B$ là tam giác đều.

$\Rightarrow I H$ vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\hat{A I B} \Rightarrow I H$ cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

$\Rightarrow I H : y = - x$

Ta có: $A B ⊥ I H \Rightarrow A B : y = x + m \Leftrightarrow x - y + m = 0$

$\Rightarrow d (I; A B) = \frac{|- 1 - 1 + m|}{\sqrt{2}} = \frac{|m - 2|}{\sqrt{2}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 2}{x + 1} = x + m \Leftrightarrow x^{2} + m x + m + 2 = 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m^{2} - 4 (m + 2) > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m > 8$

Khi đó hoành độ các giao điểm A, B là nghiệm của phương trình trên

Gọi $A (x_{1}; x_{1} + m); B (x_{2}; x_{2} + m)$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1} . x_{2} = m + 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(x_{1} + m - x_{2} - m)}^{2} = 2 {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 8 x_{1} x_{2} = 2 m^{2} - 8 (m + 2)$

Do tam giác IAB đều nên $d (I; A B) = \frac{A B \sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow d^{2} (I; A B) = \frac{3 A B^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{{(m - 2)}^{2}}{2} = \frac{3 [2 m^{2} - 8 (m + 2)]}{4} \Leftrightarrow m^{2} - 4 m = 14$ (thỏa mãn đk $m^{2} - 4 m > 8$ )

$\Rightarrow A B = \sqrt{2 {(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{2 m^{2} - 8 (m + 2)} = \sqrt{2 (m^{2} - 4 m - 8)} = \sqrt{2. (14 - 8)} = 2 \sqrt{3}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Với mỗi số thực x, gọi f(x) là giá trị nhỏ nhất trong các số $g_{1} (x) = 4 x + 1, g_{2} (x) = x + 2, g_{3} (x) = - 2 x + 4$ . Giá trị lớn nhất của f(x) trên R là:

Xem lời giải »

Câu 2:

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \frac{1}{x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 3} + \frac{1}{x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 3} + \frac{1}{x_{3}^{2} - 4 x_{3} + 3}$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem lời giải »

Câu 4:

Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy đến hòn đảo C (như hình vẽ). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{1}{6} x^{4} - \frac{7}{3} x^{2}$ có đồ thị hàm số (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1}), N (x_{2}; y_{2}) (M, N \neq A)$ thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 4 (x_{1} - x_{2})$ ?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x), y = g (x)$ . Hai hàm số $y = f' (x), y = g' (x)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số $y = g' (x)$ .

Hàm số $h (x) = f (x + 6) - g (2 x + \frac{5}{2})$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . Đặt $f^{k} (x) = f (f^{k - 1} (x))$ (với k là số tự nhiên lớn hơn 1). Tính số nghiệm của phương trình $f^{8} (x) = 0$

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hàm số y = (x- 2)/(x + 1) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: