Cho hàm số y=x^3-3x^2+4 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k

Câu hỏi:

Cho hàm số  y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d  là đường thẳng qua  I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu   giá trị nguyên của k  để d  cắt (C)  tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I  là trung điểm của đoạn thẳng  AB là

A. 4

B. 1

C.  6

D. vô số

Trả lời:

Phương trình đường thẳng d: y = k(x - 1) + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³ - 3x² + 4 =  k(x - 1) + 2.

Hay x³ - 3x² - kx + k + 2 = 0 (1) 

$\iff (x-1)(x^2-2x-k-2)=0$

( C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi  và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}{{∆}^{\text{'}}}_g>0\\ g\left(1\right)\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}k+3>0\\ -3-k\ne 0\end{array}\iff k>-3\right.\right.$

Hơn nữa  theo Viet ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2=2x_I\\ y_1+y_2=k(x_1+x_2)-2k+4=4=2y_I\end{array}\right.$

nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn k > -3, hay k ∈ (-3; +∞). Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.