Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA

Gọi O là trung điểm của AC

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SB}\\{AH \bot BC}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot HC} \right.$

Suy ra tam giác AHC vuông tại H

Do đó H thuộc mặt cầu tâm ${\rm{O}}$ đường kính AC

Vì tam giác AKC vuông tại K nên K thuộc mặt cầu tâm ${\rm{O}}$ đường kính AC

Vì tam giác ABC vuông tại B nên B thuộc mặt cầu tâm ${\rm{O}}$ đường kính AC

Suy ra 5 điềm A, H, K, B, C đều thuộc mặt cầu tâm O đường kính AC hay khối chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm O đường kính AC

Khi đó bán kính mặt cầu là: $R = \frac{{AC}}{2}$

Tam giác ${\rm{ABC}}$ vuông cân tại B và BC = a $\Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Suy ra thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:

$V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}$

Vậy ta chọn đáp án B.