Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x^2 + (m^3 –-4m)x > = mln
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x2 + (m3 – 4m)x ≥ mln(x2 + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x?
A. 1
B. 3
C. Vô số
D. 2.
Trả lời:
Đáp án đúng là: D
ТХÐ: D = ℝ
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x \ge m\ln \left( {{x^2} + 1} \right);\forall x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{m^3} - 4m} \right)x - m\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0;\forall x{\rm{ }}(*)\end{array}\)
Đặt f(x)=x2+(m3−4m)x−mln(x2+1)
Ta có f(0) = 0, do đó (∗)⇔f(x)≥f(0)∀x∈R
Lại có hàm số f(x) xác định trên R, nên x = 0 là điểm cực trị của hàm số
Do đó f’(0) = 0
Ta có: f′(x)=2x+m3−4m−m⋅2xx2+1
⇒f′(0)=0⇔m3−4m=0⇔m(m2−4)=0⇔[m=0m=2m=−2
+ Với m = 0 ta có x2≥0;∀x (thỏa mãn)
+ Với m = 2 ta có x2≥2ln(x2+1);∀x (loại)
+ Với m = –2 ta có x2≥−2ln(x2+1);∀x (thỏa mãn)
Suy ra chỉ có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy ta chọn đáp án D.
