Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AC = 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AC = 2, \[\widehat {BAC} = 30^\circ ,\] SA vuông góc với đáy và SA = A. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB với AC.

⦁ Tính thể tích khối chóp SABC.

Trong tam giác ABC ta có: \(AB = AC \cdot {\rm{cos}}30^\circ = 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

 \(BC = AC \cdot {\rm{sin}}30^\circ = 2a \cdot \frac{1}{2} = a\)

Vậy thể tích khối chóp SABC là:

\(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3}SA \cdot \frac{1}{2}BA \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot a \cdot a \cdot a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

⦁ Tính khoảng cách giữa SB và AC

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng Bx // AC. Khi đó AC // (SBx),

Do đó d(AC; SB) = d(A; (SBx))

Trong mặt phẳng (ABC ) kẻ AK ⊥ Bx, vì AS ⊥ Bx ⇒ Bx ⊥ (SAK) ⇒ (SBx) ⊥

(SAK).

Trong mặt phẳng (SAK) kẻ AH ⊥ SK ⇒ AH ⊥ (SBx). Vậy d(A; (SBx)) = AH.

Trong tam giác ABK vuông tại K có \(\widehat {BAK} = 60^\circ \) ta có:

\(AK = AB \cdot {\rm{cos}}60^\circ = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Trong tam giác SAK ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)