Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; 30pi] của phương trình 2cos^2x + sin x

Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; 30π] của phương trình 2cos²x + sin x ‒ 1 = 0. Khi đó, giá trị của S bằng:

A. \(S = \frac{{1365}}{2}\pi \).

B. \(S = \frac{{1215}}{2}\pi \).

C. S = 622π.

D. \(S = \frac{{1335}}{2}\pi \).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{sin}}x - 1 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + {\rm{sin}}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{sin}}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 1}\\{{\rm{sin}}x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\].

TH1. Với \({\rm{sin}}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) mà \(x \in \left[ {0;30\pi } \right] \Rightarrow k = \left\{ {0;1; \ldots ;14} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sum \;x = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} + 2\pi + \frac{\pi }{2} + 4\pi + \ldots + \frac{\pi }{2} + 28\pi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 15 \cdot \frac{\pi }{2} + \left( {2 + 4 + \ldots + 28} \right)\pi = \frac{{435\pi }}{2}{\rm{.\;}}\end{array}\)

TH2: Với \({\rm{sin}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\) mà \(x \in \left[ {0;30\pi } \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k_1} = \left\{ {1;2; \ldots ;15} \right\}}\\{{k_2} = \left\{ {0;1; \ldots ;14} \right\}}\end{array}} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sum \;{x_1} = - \frac{\pi }{6} + 2\pi - \frac{\pi }{6} + 4\pi + \ldots - \frac{\pi }{6} + 30\pi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 15 \cdot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {2 + 4 + \ldots + 30} \right)\pi = \frac{{475\pi }}{2}.\end{array}\)

Và \(\sum {x_2} = \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6} + 2\pi + \frac{{7\pi }}{6} + 4\pi + \ldots + \frac{{7\pi }}{6} + 28\pi \)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 15 \cdot \frac{{7\pi }}{6} + \left( {2 + 4 + \ldots + 28} \right)\pi = \frac{{455\pi }}{2}\).

Vậy \(\sum x + \sum {x_1} + \sum {x_2} = \frac{{435\pi }}{2} + \frac{{475\pi }}{2} + \frac{{455\pi }}{2} = \frac{{1365\pi }}{2}\).