Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông. SA = SC; SB = SD; O
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông. SA = SC; SB = SD; O = AC giao BD.
a) Chứng minh: SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh: BD vuông góc với (SAC) và AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).
c) Chứng minh: (SBD) vuông góc với (SAC); (SBD) vuông góc với (ABCD).
Trả lời:
a) Ta có: SA = SC nên tam giác SAC cân tại S
O là trung điểm AC nên SO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
Suy ra: SO ⊥ AC (1)
Tương tự: SB = SD nên tam giác SBD cân tại S
SO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến trong tam giác SBD.
Suy ra: SO ⊥ BD (2)
Từ (1), (2) suy ra: SO ⊥ (ABCD)
b) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD
Lại có: SO ⊥ BD (cmt)
⇒ BD ⊥ (SAC)
Chứng minh tương tự: AC ⊥ SO
AC ⊥ BD
Nên AC ⊥ (SBD)
c) Theo phần b ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot \left( {SAC} \right)\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\) suy ra: (SBD) ⊥ (SAC)
Vì theo phần a có SO ⊥ (ABCD) mà SO ⸦ (SBD)
Suy ra: (SBD) ⊥ (ABCD).
