Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Câu hỏi:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng 30 độ Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Trả lời:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. (ảnh 1)

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của cạnh AB.

Khi đó SH ⊥ (ABC) tại H. Do tam giác ABC đều nên CD ⊥ AB tại D, tam giác SAB cân tại S nên SD ⊥ AB tại D.

Ta có: $\{\begin{matrix} (S A B) \cap (A B C) = A B \\ S D ⊥ A B, S D \subset (S A B) \\ C D ⊥ A B, C D \subset (A B C) \end{matrix}$

⇒ $\hat{((S A B), (A B C))} = \hat{(S D, C D)} = \hat{S D C} = 30 °$

Trong tam giác SDH, dựng HK ⊥ SD tại K.

Ta có $\{\begin{matrix} A B ⊥ S D \\ A B ⊥ D C \end{matrix}$ ⇒ AB ⊥ (SCD) mà $H K \subset (S C D)$ nên HK ⊥ AB.

Ta có $\{\begin{matrix} H K ⊥ S D, H K ⊥ A B \\ S D \cap A B = D \\ S D, A B \subset (S A B) \end{matrix}$ ⇒ HK ⊥ (SAB) tại K

⇒ d(H, (SAB)) = HK = a

Xét tam giác DHK vuông tại K:

$D H = \frac{H K}{\sin \hat{S D C}} = \frac{H K}{\sin 30 °} = 2 a$ ⇒ DC = 3DH = 6a

Xét tam giác BCD vuông tại D: $B C = \frac{D C}{\sin \hat{A B C}} = \frac{6 a}{\sin 60 °} = 4 a \sqrt{3}$

Xét tam giác SDH vuông tại H:

$S H = D H . \tan \hat{S D C} = 2 a . \tan 30 ° = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Diện tích tam giác đều ABC là

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{1}{2} .4 a \sqrt{3} .4 a \sqrt{3} . \sin 60 ° = 12 a^{2} \sqrt{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là

$V = \frac{1}{3} . S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .12 a^{2} \sqrt{3} = 8 a^{3} .$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3mx² – 9m²x nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Xem lời giải »

Câu 2:

Điền từ thích hợp vào chỗ trống: Hai điểm M, N gọi là đối xứng nhau qua điểm I nếu .....

Xem lời giải »

Câu 3:

Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A, B sao cho cung AB có số đo bằng $120 ° .$ Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A, B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.

Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. (ảnh 1)

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' lần lượt có trọng tâm là G và G' Đẳng thức nào sau đây là sai?

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ dưới đây. Phép tịnh tiến theo véctơ $\vec{B C}$ biến hình thoi ABOF thành hình thoi nào sau đây?

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ dưới đây. Phép tịnh tiến theo véctơ BC biến hình thoi ABOF thành hình thoi nào sau đây? (ảnh 1)

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O, các đỉnh được đặt theo thứ tự đó và cùng chiều kim đồng hồ. Thực hiện lần lượt phép quay tâm O góc quay $60 °$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{O C}$ thì ảnh của tam giác ABO là:

Xem lời giải »

Câu 7:

Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng?

Xem lời giải »

Câu 8:

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: