Cho (O) đường kính AC . trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O'

1) Ta có OM ⊥ DE tại M

Nên M là trung điểm của DE(quan hệ đường kính – dây cung)

Xét tứ giác ADBE, ta có:

M là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của DE(cmt)

AB ⊥ DE tại M (gt)

Nên tứ giác ADBE là hình thoi

2) Ta có: \(\widehat {BIC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy tứ giác DMBI có \(\widehat {DMB} = \widehat {BIC} = 90^\circ \)

Nên DMBI nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

3) Ta có \(\widehat {ADC} = \widehat {BIC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AD ⊥ DC và BI ⊥ DC

⇒ AD // BI

Mà AD // BE (vì ADBE là hình thoi)

Do đó BI ≡ BE ⇒ B, I, E thẳng hàng

Vậy ΔDIEvuông tại I có IM là đường trung tuyến nên MI = MD

4) Vì DMBI nội tiếp nên \(\widehat {BMI} = \widehat {BDI}\)(cùng chắn cung BI)

Xét ΔMICΔ và ΔDBC, ta có:

\(\widehat {BMI} = \widehat {BDI}\)

\(\widehat {MCI}\)là góc chung

Nên ΔMIC ~ ΔDBC(g.g)

⇒ \(\frac{{MI}}{{DB}} = \frac{{MC}}{{DC}}\)

⇒ MC.DB = MI.DC

5) Ta có:

\[\widehat {MIB} = \widehat {MDB}\](vì DMBI nội tiếp)

\[\widehat {MDA} = \widehat {MDB}\](vì ADBE là hình thoi)

\[\widehat {MDA} = \widehat {BCI}\] (cùng phụ \(\widehat {DAM}\))

 (trong (O′)

Nên  (trong (O′)

Vậy MI là tiếp tuyến của (O′).