Cho phương trình (2cosx - 1)(2cos2x + 2cosx - m) = 3 - 4sin^2x. Có bao nhiêu giá
Câu hỏi:
Cho phương trình (2cosx – 1)(2cos2x + 2cosx – m) = 3 – 4sin2x. Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm lớn hơn –10 để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
Trả lời:
Ta có: 3 – 4sin2x
= 3 – 4(1 – cos2x) = 4cos2x – 1
= (2cosx + 1)(2cosx – 1)
Suy ra: (2cosx – 1)(2cos2x + 2cosx – m) = (2cosx + 1)(2cosx – 1)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2\cos x - 1 = 0\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\left( 1 \right)\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{2}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Xét (1): cosx = \(\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)
Để (1) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)
TH1: (2) vô nghiệm:
Do \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
⇔ \[\left| {\frac{{m + 1}}{2}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 > 2\\m + 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\]
TH2: (2) có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)
Thay \(x = \pm \frac{\pi }{3}\) ta có: \(\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m = - 2\)
Từ hai trường hợp ta có: \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)
Và m là số nguyên, m > –10
⇒ m ∈ {−9;−8;−7;−6;−5;−4;−2}
Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.
