Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của modun của số phức z.
Câu hỏi:
Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của modun của số phức z.
Trả lời:
Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ).
Ta có: |z + i + 1| = |z − 2i|
⇔√(x+1)2+(y+1)2=√x2+(y−2)2
Û (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y − 2)2
Û x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 − 4y + 4
Û 2x + 6y = 2
Û x + 3y = 1
Û x = 1 − 3y
Khi đó, mô đun của số phức z là:
|z|=√x2+y2=√(1−3y)2+y2=√1−6y+9y2+y2
=√10y2−6y+1=√(10y2−2 . √10y . 3√10+910)+110
=√(y√10−3√10)2+110≥√1010
Dấu “=” xảy ra .⇔y√10=3√10⇔y=310⇒x=110
Vậy GTNN của mô đun z là √1010 khi x=110, y=310.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Đa thức P (x) = 32x5 − 80x4 + 80x3 − 40x2 + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: 2→MA+3→MB=→0 được xác định bởi:
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2→MA−3→MB=→0.
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c≥3.
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn |z+i+1|=|ˉz−2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Xem lời giải »
Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn |z − 4 − i| = |z + i|. Gọi z = a + bi (a; b Î ℝ) là số phức thỏa mãn |z − 1 + 3i| nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T = 2a + 3b là:
Xem lời giải »
Câu 7:
Cho các số phức z thỏa mãn |z − 2i| = |z + 2|. Gọi z là số phức thỏa mãn |(2 − i)z + 5| nhỏ nhất. Khi đó:
Xem lời giải »
