Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh:  a) ∆DEB = ∆DFC; b) ∆AED = ∆AFD; c) AD là tia phân giác của góc BAC

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh: 

a) ∆DEB = ∆DFC;

b) ∆AED = ∆AFD;

c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Lời giải

a) Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A, suy ra \(\widehat B = \widehat C\)

Xét ∆DEB và ∆DFC có:

\(\widehat {BE{\rm{D}}} = \widehat {CF{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\);

BD = CD;

\(\widehat B = \widehat C\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆DEB = ∆DFC (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Vì ∆DEB = ∆DFC (chứng minh câu a)

Nên DE = DF (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆AED và ∆AFD có:

\(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {AF{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\);

AD là cạnh chung;

DE = DF (chứng minh trên)

Suy ra ∆AED = ∆AFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Vì ∆AED = ∆AFD (chứng minh câu b)

Nên \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DAF}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).