Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N. a) Giả sử góc B
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử ˆB=ˆC=α. Tính ^MON.
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Trả lời:
Lời giải
a) Xét tam giác ABC có
ˆA+ˆB+ˆC=180∘ (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay ˆA+α+α=180∘
Suy ra ˆA=180∘−2α
Xét tứ giác AHOK có
^AHO+^AKO=90∘+90∘=180∘
Suy ra tứ giác AHOK nội tiếp
Do đó ^HAK+^HOK=180∘
Hay 180∘−2α+^HOK=180∘
Suy ra ^HOK=2α
Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra OM là tia phân giác của ^HOE
Do đó ^HOM=^MOE=12^HOE
Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra ON là tia phân giác của ^KOE
Do đó ^KON=^NOE=12^KOE
Ta có: ^MON=^MOE+^NOE=12^HOE+12^KOE=12^HOK=12.2α=α
Vậy ^MON=α
b) Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MO là tia phân giác của ^HME
Do đó ^HMO=^OME=12^HME
Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra NO là tia phân giác của ^KNE
Do đó ^KNO=^ONE=12^KNE
Xét ∆BMO và ∆OMN có:
^BMO=^NMO (chứng minh trên);
ˆB=^MON(=α)
Suy ra (g.g)
Xét ∆CON và ∆OMN có
^CNO=^MNO (chứng minh trên);
ˆC=^MON(=α)
Suy ra (g.g)
Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Vì OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng
Suy ra
Do đó COBM=CNBO
Suy ra BM . CN = CO . BO = a . a = a2
d) Vì tích BM . CN = a2 cố định nên tổng BM + CN nhỏ nhất khi BM = CN
Mà AB = AC
Suy ra BMAB=CNAC
Do đó MN // BC
Vậy khi MN // BC thì BM + CN nhỏ nhất.
