Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho vecto BH  = 1/3 vecto HC. Điểm M di động nằm trên BC sao cho vecto BM = x vecto BC. Tìm x sao cho độ dài của vecto

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \overrightarrow {ME}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} = ME} \right| \ge EF$

Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $GP = PE = \frac{1}{2}GE$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $BG = \frac{2}{3}BP,GP = \frac{1}{3}BP$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $BE = BP + \frac{1}{3}BP = \frac{4}{3}BP$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\widehat {FBE}$ là góc chung;

$\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)$

Suy ra (g.g)

Do đó $\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{3}{4}$

Hay $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC}$

Mà $\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC}$

Ta có $\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC}$

Do đó $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC}$

Vậy ${\rm{x}} = \frac{5}{6}$ thì độ dài của $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.