Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. M là một
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. M là một điểm bất kì. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\).
B. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + {a^2}\).
C. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + {a^2}\).
D. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\).
Trả lời:
Đáp án đúng: D
D đối xứng với A qua BC
⇒ BC là đường trung trực của AD
⇒ BA = BD; CA = CD
mà BA = CA(ΔABC đều) ⇒ BA = BD = CA = CD
⇒ ABDC là hình thoi
⇒ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Xét \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + a.a.\cos 60^\circ \)
\( = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\)
