Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Chứng minh BE // CD. c) Gọi M là tr

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh rằng BE = CD.

b) Chứng minh BE // CD.

c) Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh AM = AN.

Lời giải

a) Xét ∆ABE và ∆ADC, có:

AB = AD (giả thiết);

AE = AC (giả thiết);

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\) (đối đỉnh).

Do đó ∆ABE = ∆ADC (c.g.c).

Vậy BE = CD (cặp cạnh tương ứng).

b) Ta có \(\widehat {ABE} = \widehat {ADC}\) (do ∆ABE = ∆ADC).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy BE // CD.

c) Ta có M là trung điểm của BE.

Suy ra BE = 2BM.

Chứng minh tương tự, ta được: CD = 2DN.

Mà BE = CD (kết quả câu a).

Suy ra 2BM = 2DN.

Do đó BM = DN.

Xét ∆ABM và ∆ADN, có:

AB = AD (giả thiết);

BM = DN (chứng minh trên);

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆ABM = ∆ADN (c.g.c).

Vậy AM = AN (cặp cạnh tương ứng).