Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC. a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông. b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông.

b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình bình hành.

c) Chứng minh AEBF là hình thoi.

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC

Suy ra DE là đường trung bình

Do đó DE // AC và \(DE = \frac{1}{2}AC\)

Suy ra DECA là hình thang

Mà \(\widehat {DAC} = 90^\circ \) nên DECA là hình thang vuông

b) Vì F là điểm đối xứng của E qua D nên EF = 2DE

Mà AC = 2DE nên EF = AC

Lại có FE // AC (chứng minh câu a)

Suy ra ACEF là hình bình hành.

c) Xét tứ giác AEBF có D là trung điểm của hai đường chéo AB và EF

Suy ra AEBF là hình bình hành                      (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Do đó \[A{\rm{E}} = \frac{1}{2}BC\]

Mà \[{\rm{BE}} = \frac{1}{2}BC\], suy ra AE = BE                                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEBF là hình thoi

Vậy AEBF là hình thoi.