Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh
Câu hỏi:
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Trả lời:
Lời giải
a) Trong (BCD): gọi M = JK ∩ CD.
Trong (ACD): gọi N = IM ∩ AD.
Ta có:
⦁ (IJK) ∩ (ABC) = IJ.
⦁ (IJK) ∩ (BCD) = JK.
⦁ (IJK) ∩ (ABD) = KN.
⦁ (IJK) ∩ (ACD) = NI.
Suy ra thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKN.
Ta có I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC.
Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó IJ // AB.
Mà IJK) ∩ (ABD) = KN.
Vì vậy KN // AB // IJ (1)
Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{AN}}{{DA}} = \frac{{BK}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
Mà BD = AD (do ABCD là tứ diện đều).
Suy ra AN = BK.
Ta có ∆AIN = ∆BJK (c.g.c).
Suy ra IN = JK (2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác IJKN là hình thang cân.
b) Kẻ NH ⊥ IJ tại H và KE ⊥ IJ tại E.
Ta có \(IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\); \(NK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}\);\(BJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và \(BK = \frac{2}{3}BD = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có IH = EJ và NK = HE.
Suy ra \(IH = \frac{{IJ - NK}}{2} = \frac{{\frac{a}{2} - \frac{a}{3}}}{2} = \frac{a}{{12}}\).
Ta có \[J{K^2} = B{J^2} + B{K^2} - 2BJ.BK.\cos \widehat {JBK}\]
\[ = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{4{a^2}}}{9} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{36}}\].
Suy ra \(NI = JK = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).
Tam giác NIH vuông tại H:
\(NH = \sqrt {N{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\frac{{13{a^2}}}{{36}} - \frac{{{a^2}}}{{144}}} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}\).
Diện tích hình thang IJKN là:
\(S = \frac{{NH.\left( {NK + IJ} \right)}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}.\left( {\frac{a}{3} + \frac{a}{2}} \right)}}{2} = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
Vậy diện tích thiết diện bằng \(\frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
