Cho x, y là những số thực thoả mãn x^2 − xy + y^2 = 1. Gọi M và m lần lượt

Câu hỏi:

Cho x, y là những số thực thoả mãn x² − xy + y² = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

Tính giá trị của A = M + 15m.

Trả lời:

Ta có:

+) 1 + xy = x² + y² ≥ 2xy Û xy £ 1 (Vì (x − y)² = x² + y² − 2xy ≥ 0)

+) x² − xy + y² = 1

Û (x + y)² − 3xy = 1

Û (x + y)² = 1 + 3xy ≥ 0

$\Leftrightarrow x y \geq - \frac{1}{3}$

Khi đó: $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$

$= \frac{{(1 + x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2}$

$= \frac{1 + 2 x y + {(x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2} = \frac{- {(x y)}^{2} + 2 x y + 2}{x y + 2}$

Đặt $t = x y, t \in [- \frac{1}{3}; 1]$ , xét hàm số $P = \frac{- t^{2} + 2 t + 2}{t + 2}$

$P^{'} = \frac{- t^{2} - 4 t + 2}{{(t + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt{6}$

Ta tính được: $P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; P (1) = 1; P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Khi đó $m = P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; M = P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Vậy $A = M + 15 m = (6 - 2 \sqrt{6}) + 15 . \frac{11}{15} = 17 - 2 \sqrt{6}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$ .

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tìm k trong $\vec{M A} = k \vec{M B}$ .

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tính giá trị của k để có đẳng thức $\vec{A M} = k . \vec{A B}$ .

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho x, y là những số thực thoả mãn x^2 − xy + y^2 = 1. Gọi M và m lần lượt

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: