Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$ .

Trả lời:

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{x y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

$= \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

Xét $3 x + 2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} = 2 \sqrt{6 . 6} = 12$ (với x, y > 0)

Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có:

$Q = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{24}{3 x + 2 y} - \frac{18}{3 x + 2 y}$

$\geq 2 \sqrt{\frac{3 x + 2 y}{6} . \frac{24}{3 x + 2 y}} - \frac{18}{12} = 2 \sqrt{4} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} 3 x = 2 y \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ \frac{2 y^{2}}{3} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ y^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 (d o y > 0) \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{5}{2}$ đạt được khi x = 2, y = 3.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tìm k trong $\vec{M A} = k \vec{M B}$ .

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho $A M = \frac{1}{5} A B$ . Tính giá trị của k để có đẳng thức $\vec{A M} = k . \vec{A B}$ .

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và

$\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$ . Kết quả

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x$ bằng bao nhiêu?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: