Chứng minh: căn bậc hai của a^2 + b^2  + căn bậc hai của c^2 + d^2  lớn hơn bằng( a + c)^2 + ( b + d)^2, a, b, c, d thuộc R

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2}$

$\Leftrightarrow ac + bd \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}$ (1)

• Nếu ac + bd < 0: BĐT luôn đúng

• Nếu ac + bd ³ 0 thì (1) tương đương

(ac + bd)² £ (a² + b²)(c² + d²)

Û (ac)² + (bd)² + 2abcd £ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)²

Û (ad)² + (bc)² − 2abcd ³ 0

Û (ad − bc)² ³ 0 (luôn đúng).

Vậy bài toán được chứng minh.