Chứng minh rằng 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Câu hỏi:
Chứng minh rằng 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Trả lời:
2n3 + 3n2 + n
= n (2n2 + 3n + 1)
= n (2n2 +2n + n + 1)
= n [2n (n + 1) + (n + 1)]
= n (n + 1) (2n + 1)
= n (n + 1) (2n – 2 + 3)
= n (n + 1) (2n – 2) + 3n (n + 1)
= 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1)
Ta thấy: n – 1; n và n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 3.
Vì 2 ⋮ 2 nên 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 2
Vậy 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 6. (1)
Lại có: 3 ⋮ 3 nên 3n (n + 1) ⋮ 3
Mà n, n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n (n + 1) ⋮ 2
Vậy 3n (n + 1) ⋮ 6. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1) ⋮ 6
Vậy 2n3 + 3n2 + n ⋮ 6.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Tìm x nguyên để A = có giá trị là số nguyên.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tìm x sao cho x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 là số chính phương.
Xem lời giải »
Câu 5:
Một trường tổ chức cho khoảng từ 700 đến 800 học sinh đi tham quan bằng ô tô. Tính số học sinh đi tham quan, biết rằng nếu xếp 40 người hay 45 người lên một xe đều vừa vặn. Nếu xếp 40 người thì cần bao nhiêu xe?
Xem lời giải »
Câu 6:
Khu đất hình chữ nhật có chu vi 900m biết chiều dài bằng trung bình cộng của nửa chu vi và chiều rộng. Tìm diện tích khu đất?
Xem lời giải »
Câu 7:
1 công trường dự trữ lương thực đủ cho 1200 người ăn trong 35 ngày. Có một số người đến thêm nên số lương thực đó chỉ đủ ăn trong 25 ngày. Tính số người đến thêm?
Xem lời giải »
Câu 8:
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Nếu chiều rộng tăng thêm chiều rộng nữa và chiều dài tăng thêm chiều dài thì thửa ruộng trở thành hình vuông.
a) Tính diện tích thửa ruộng đó.
Xem lời giải »
