Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y = m(x - 4

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y=m\left(x-4\right)$ cắt đồ thị của hàm số $y=\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)$ tại bốn điểm phân biệt?

A. 1

B. 5

C. 3

D. 7

Trả lời:

Đáp án B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

$$\begin{gathered} \left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)=m\left(x-4\right) \\ \Rightarrow \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}=m\left(1\right)\left(x\ne 4\right) \end{gathered}$$

Só nghiệm của (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ và y = m

Ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2-9\right)\left(x-4\right)+2x\left(x^2-1\right)\left(x-4\right)-\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}{{\left(x-4\right)}^2} \\ =\frac{3x^4-16x^3-10x^2+80x-9}{{\left(x-4\right)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^4-16x^3-10x^2+80x-9=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình ta được 4 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}{x}_1\approx -2,169\\ x_2\approx 0,114\\ x_3\approx 2,45\\ x_4\approx 4,94\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\iff$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ tại 4 điểm phân biệt $\iff m\in \left(-2,28;2,58\right)$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán