Hàm số y = (x + m)^3 + (x + n)^3 - x^3 (tham số m, n) đồng biến trên khoảng

Câu hỏi:

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ (tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng:

A. -16

B. 4

C. $\frac{- 1}{16}$

D. $\frac{1}{4}$

Trả lời:

Đáp án C

Ta có:

$y' = 3 {(x + m)}^{2} + 3 {(x + n)}^{2} - 3 x^{2} = 3 [x^{2} + 2 (m + n) x + m^{2} + n^{2}]$

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m n \leq 0$

TH1: $m n = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ n = 0 \end{matrix}$

Do vai trò của m, n như nhau nên ta chỉ xét trường hợp m = 0

$\Rightarrow P = 4 n^{2} - n = {(2 n - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} \geq - \frac{1}{16} (1)$

TH2: $m n < 0 \Leftrightarrow m > 0; n < 0$ (do vai trò của m, n như nhau)

Ta có: $P = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + 4 n^{2} + (- n) > - \frac{1}{16} (2)$

Từ (1) và (2) ta có $P_{\min} = - \frac{1}{16}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{8}, n = 0$ hoặc $m = 0, n = \frac{1}{8}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m - 4$ đi qua điểm $N (- 2; 0)$

Xem lời giải »

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y = m (x - 4)$ cắt đồ thị của hàm số $y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 9)$ tại bốn điểm phân biệt?

Xem lời giải »

Câu 3:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x - 1) + m|$ có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Xem lời giải »

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \sin^{3} - 3 \cos^{2} x - m \sin x - 1$ đồng biến trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - a x^{2} - 3 a x + 4$ . Để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x_{2}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$ thì a thuộc khoảng nào?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số $y = f' (x)$ ( $y = f' (x)$ liên tục trên R). Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Hàm số y = (x + m)^3 + (x + n)^3 - x^3 (tham số m, n) đồng biến trên khoảng

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: