Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc BAC = 120 độ
Câu hỏi:
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, ^BAC=120∘, biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC
A. a33
B. a39
C. a3√2
D. a32.
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm của BC. Vì ∆ABC cân tại A nên AM ⊥ BC và AM là phân giác của ^BAC
Suy ra ^BAM=12^BAC=12.120∘=60∘
Ta có: {AM⊥BCSM⊥BC(SBC)∩(ABC)=BC
Suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là ^SMA nên ^SMA=45∘
Xét tam giác BAM có:
sin^BAM=BMAB⇒AB=BMsin^BAM=asin60∘=2a√3
tan^BAM=BMAM⇒AM=BMtan^BAM=atan60∘=a√3
Xét tam giác SAM vuông tại A có
tan^SMA=SAAM⇒SA=AM.tan^SMA=a√3.tan45∘=a√3
Diện tích tam giác ABC là SABC=12AM.BC=12.a√3.2a=a2√33
Tính thể tích khối chóp S.ABC là
VS.ABC=13.SA.SABC=13.a√3.a2√33=a39
Vậy ta chọn đáp án B.
