Giải phương trình: căn bậc hai (2x^2 + 11x + 19) + căn bậc hai (2x^2 + 5x + 7)
Câu hỏi:
Giải phương trình: \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} + \sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3\left( {x + 2} \right)\].
Trả lời:
Đặt \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} = a;\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = b\]
a2 – b2 = (2x2 + 11x + 19) – (2x2 + 5x + 7) = 6x +12 = 6(x + 2)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\left( 1 \right)\\{a^2} - {b^2} = 6\left( {x + 2} \right)\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\\\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 6\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\)
⇔ a – b = 2
⇔ a = b + 2
Thay vào (1) khi đó ta có:
(b + 2) + b = 3(x + 2)
⇔ 2b = 3x + 4
⇔\[2\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3x + 4\]
⇔ 4(2x2 + 5x + 7) = (3x + 4)2 (điều kiện: x > \(\frac{{ - 4}}{3}\))
⇔ x2 + 4x – 12 = 0
⇔ (x – 2)(x + 6) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 6\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
