Giải phương trình sinx + 2sin2x = 3 + sin3x biết x thuộc [0; 2pi]
Câu hỏi:
Giải phương trình sinx + 2sin2x = 3 + sin3x biết x ∈ [0; 2π].
Trả lời:
sinx + 2sin2x = 3 + sin3x
⇔ 3 + sin3x – sinx – 2sin2x = 0
⇔ 3 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0
⇔ sin22x + cos22x + 2 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0
⇔ sin22x + cos22x + sin2x + cos2x + 1 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0
⇔ ( sin22x – 2sin2x + 1) + (cos22x + 2cos2xsinx + sin2x) + cos2x = 0
⇔ (sin2x – 1)2 + (cos2x + sinx)2 + (cos)2 = 0
Ta thấy: (sin2x – 1)2 + (cos2x + sinx)2 + (cos)2 ≥ 0 với mọi x
Để (*) xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\cos 2x + \sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right.\)
⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]
⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]
⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]
⇔ Không có nghiệm nào x ∈ [0; 2π] thỏa mãn đồng thời 3 đẳng thức trên.
Vậy phương trình vô nghiệm.
