Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x^3 - 3(2m + 1)x^2
Câu hỏi:
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞). Số phần tử của S bằng
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1.
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Tập xác định D = ℝ
Ta có: y’ = 3x2 – 6(2m + 1)x + 12m + 5
Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) khi y’ ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)
⇔ 3x2 – 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)
⇔ 3x2 – 12mx – 6x + 12m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)
\( \Leftrightarrow m \le \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 5}}{{12\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}\) với mọi x ∈ (2; +∞)
Xét hàm số \(g\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 5}}{{12\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}\) với mọi x ∈ (2; +∞)
\(g'\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1}}{{12{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi x ∈ (2; +∞)
Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞)
Do đó m ≤ g(x) với mọi x ∈ (2; +∞)
Suy ra \(m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}\)
Vì \(0 < m \le \frac{5}{{12}}\)
Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán
Vậy ta chọn đáp án C.
