Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất
Câu hỏi:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} \right|\) trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng giá trị các phân tử của tập S bằng
A. 108;
B. 136;
C. 120;
D. 210.
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số \(g(x) = \frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30\) có TXĐ: D = ℝ
Ta có: g’(x) = x3 – 28x + 48 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6 \notin \left[ {0;2} \right]\\x = 4 \notin \left[ {0;2} \right]\\x = 2 \in \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)
TH1: max y = y(0) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y(0) \le 30\\y(0) \ge y(2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 30} \right| \le 30\\\left| {m - 30} \right| \le \left| {m + 14} \right|\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 30} \right| \le 30\\{(m - 30)^2} - {\left( {m + 14} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30 \le m - 30 \le 30\\ - 44(2m - 16) \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 60\\m \le 8\end{array} \right.\)
⇔ 0 ≤ m ≤ 8
TH2: max y = y(2) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y(2) \le 30\\y(2) \ge y(0)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 14} \right| \le 30\\\left| {m + 14} \right| \ge \left| {m - 30} \right|\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 14} \right| \le 30\\{\left( {m + 14} \right)^2} - {\left( {m - 30} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30 \le m + 14 \le 30\\44(2m - 16) \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 34 \le m \le 16\\m \ge 8\end{array} \right.\)
⇔ 8 ≤ m ≤ 16
⇒ S = {0; 1; 2; …; 16}.
Vậy tổng giá trị các phần tử của tập hợp S: \(\frac{{16.17}}{2} = 136\).
