Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = (x + 1) / (x - 1) tại hai điểm thuộc

Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ tại hai điểm thuộc nhánh của đồ thị.

A. $m \in \left( {\frac{{ - 1}}{4}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$;

B. m ∈ (0; +∞);

C. m ∈ (−∞; 0);

D. m = 0.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm là: $mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\f(x) = m{x^2} - mx - 2 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Theo hệ thức Vi-ét có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2}}{m}\end{array} \right.$

Đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x­₂ khác 1 thỏa mãn (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta = {m^2} + 8m > 0\\f(1) \ne 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\m{.1^2} - m.1 - 2 \ne 0\\ - \frac{2}{m} - 1 + 1 < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\\frac{2}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0$