Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

Câu hỏi:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+mx+2m}{x+1}$ có hai điểm cực trị A, B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

A. 9

B. 1

C. 4

D. 5

Trả lời:

Đáp án A

ĐKXĐ: $D=R\backslash \left\{-1\right\}$

Ta có: $y=\frac{x^2+mx+2m}{x+1}=x+m-1+\frac{m+1}{x+1}$

$\Rightarrow y\text{'}=1-\frac{m+1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-m}{{\left(x+1\right)}^2}$

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=1+m>0\\ 1-2-m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m>-1$

Khi đó, giả sử $x_1,x_2$ là nghiệm phân biệt của phương trình y' = 0, áp dụng định lí Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1.x_2=-m\end{array}\right.$

Đặt $A\left(x_1;x_1+m-1+\frac{m+1}{x_1+1}\right),B\left(x_2;x_2+m-1+\frac{m+1}{x_2+1}\right)$ là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$

$$\begin{gathered} \iff x_1.x_2+\left(x_1+m-1+\frac{m+1}{x_1+1}\right)\left(x_2+m-1+\frac{m+1}{x_2+1}\right)=0 \\ \iff 2x_1.x_2+\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(m+1\right)\left(\frac{x_2}{x_1+1}+\frac{x_1}{x_2+1}\right) \\ +{\left(m-1\right)}^2+\left(m^2-1\right)\left(\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}\right)+\frac{{\left(m+1\right)}^2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=0 \\ \iff 2x_1.x_2+\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(m+1\right)\frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1} \\ +{\left(m-1\right)}^2+\left(m^2-1\right)\frac{x_1+x_2+2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}+\frac{{\left(m+1\right)}^2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}=0 \\ \iff 2x_1.x_2+\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(m+1\right)\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+x_1+x_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1} \\ +{\left(m-1\right)}^2+\left(m^2-1\right)\frac{x_1+x_2+2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}+\frac{{\left(m+1\right)}^2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}=0 \\ \iff -2m-2\left(m-1\right)+\left(m+1\right).\frac{2+2m}{-m-1}+{\left(m-1\right)}^2+\frac{{\left(m+1\right)}^2}{-m-1}=0 \\ \iff -2m-2m+2-2-2m+m^2-2m+1-m-1=0 \\ \iff m^2-9m=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=9\end{array}\right.\left(tm\right) \\ \Rightarrow S=\left\{0;9\right\} \end{gathered}$$

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9