Tìm các số nguyên n sao cho 2n^3 + n^2 + 7n + 1 chia hết cho 2n – 1.

Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.

a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.

d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh: 

a) ∆DEB = ∆DFC;

b) ∆AED = ∆AFD;

c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).