Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trị tuyệt đối (sinx + cosx + tanx + cotx

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}|$

A. $2 \sqrt{2} - 1$

B. $\sqrt{2} + 1$

C. $2 \sqrt{2} + 1$

D. $\sqrt{2} - 1$

Trả lời:

Đáp án A

$y = |\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}| y = |\sin x + \cos x + \frac{1 + \sin x + \cos x}{\sin x \cos x}|$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})$ thì $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Khi đó:

$y = |t + \frac{2 (t + 1)}{t^{2} - 1}| = |t + \frac{2}{t - 1}| = |t - 1 + \frac{2}{t - 1} + 1|$

Nếu $t - 1 > 0 \Rightarrow t - 1 + \frac{2}{t - 1} + 1 \geq 2 \sqrt{2} + 1 \Rightarrow y \geq 2 \sqrt{2} + 1$

Nếu $t - 1 < 0 \Leftrightarrow t < 1$ thì ta viết lại $y = |1 - t + \frac{2}{1 - t} - 1|$

Ta có: $1 - t + \frac{2}{1 - t} - 1 \geq 2 \sqrt{2} \Rightarrow 1 - t + \frac{2}{1 - t} - 1 \geq 2 \sqrt{2} - 1$ hay $y \geq 2 \sqrt{2} - 1$

Vậy $y \geq 2 \sqrt{2} - 1$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {(1 - t)}^{2} = 2 \Leftrightarrow t = 1 - \sqrt{2} (t < 1)$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 - \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Với mỗi số thực x, gọi f(x) là giá trị nhỏ nhất trong các số $g_{1} (x) = 4 x + 1, g_{2} (x) = x + 2, g_{3} (x) = - 2 x + 4$ . Giá trị lớn nhất của f(x) trên R là:

Xem lời giải »

Câu 2:

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \frac{1}{x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 3} + \frac{1}{x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 3} + \frac{1}{x_{3}^{2} - 4 x_{3} + 3}$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem lời giải »

Câu 4:

Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy đến hòn đảo C (như hình vẽ). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Xem lời giải »

Câu 5:

Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y = f(x) được cho như hình vẽ sau:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = g (x) = {[f' (x)]}^{2} - f (x) . f'' (x)$ và trục Ox

Xem lời giải »

Câu 6:

Với điều kiện $\{\begin{matrix} a c (b^{2} - 4 a c) > 0 \\ a b < 0 \end{matrix}$ thì đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ. Hàm số $y = f (1 - x) + \frac{x^{2}}{2} - x$ nghịch biến trên khoảng

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trị tuyệt đối (sinx + cosx + tanx + cotx

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: