Tìm m để đường thẳng y = x + m (d) cắt đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x - 2) (C) tại hai điểm

Tìm m để đường thẳng y = x + m (d) cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}(C)$ tại hai điểm phân biệt thuôc hai nhánh của đồ thị (C).

A. m ∈ ℝ;

B. $m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$;

C. $m > - \frac{1}{2}$;

D. $m < - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định x ≠ 2

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình $\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = x + m$ có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần

2x + 1 = (x – 2)(x + m)

⇔ 2x + 1 = x² + mx – 2x – 2m

⇔ x² + (m – 4)x – (2m + 1) = 0          (1)

Có hai nghiệm phân biệt khác 2.

Do 2² + (m – 4).2 – (2m + 1) = −5 ≠ 0 nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác 2.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

∆ = (m – 4)² + 4.(2m + 1) = m² + 20 > 0

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là:

${x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}$; ${x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}$

Ta lại có:

$\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right.$

⇒ x₁ < 2 < x₂

Do đó x₁; x­₂ nằm về hai nhánh của đồ thị (C) với mọi m ∈ ℝ.