Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)^2 biết F(pi/2) = 3pi/4
Câu hỏi:
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)2 biết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4}\).
Trả lời:
\[\int {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + {{\sin }^2}x} \right)dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } } \]
\[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
Lại có: \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{\pi }{2} - 2\cos \frac{\pi }{2} + \frac{1}{4}\sin \pi + C = \frac{{3\pi }}{4}\)
⇔ C = 0
Vậy F(x) = \[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x\].
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AC} \).
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho biểu thức \(A = 1 + \left( {\frac{{2a + \sqrt a - 1}}{{1 - a}} - \frac{{2a\sqrt a - \sqrt a + a}}{{1 - a\sqrt a }}} \right).\frac{{a - \sqrt a }}{{2\sqrt a - 1}}\). Rút gọn A.
Xem lời giải »
Câu 4:
Rút gọn phân thức: \(\frac{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} - 25} \right)}}{{{x^2} + 7x + 10}}\).
Xem lời giải »
Câu 5:
Đặt tính rồi tính (thương chỉ lấy hai chữ số ở phần thập phân).
a) 25 : 52. b) 48 : 23. Xem lời giải »
Câu 6:
Rút gọn biểu thức: \(B = {\sin ^2}32^\circ - \frac{{2022.\tan 51^\circ }}{{\cot 39^\circ }} + {\sin ^2}58^\circ \).
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho biểu thức: \(A = \frac{{x - 3}}{x} - \frac{x}{{x - 3}} + \frac{9}{{{x^2} - 3x}}\).
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = –3.
Xem lời giải »
