Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)^2 biết F(pi/2) = 3pi/4

Câu hỏi:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)² biết

$F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4}$ .

Trả lời:

$\int {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + {{\sin }^2}x} \right)dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } }$

$= \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

Lại có: $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{\pi }{2} - 2\cos \frac{\pi }{2} + \frac{1}{4}\sin \pi + C = \frac{{3\pi }}{4}$

⇔ C = 0

Vậy F(x) = $= \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AC}$ .

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho biểu thức $A = 1 + \left( {\frac{{2a + \sqrt a - 1}}{{1 - a}} - \frac{{2a\sqrt a - \sqrt a + a}}{{1 - a\sqrt a }}} \right).\frac{{a - \sqrt a }}{{2\sqrt a - 1}}$ . Rút gọn A.