Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ cắt đường tròn (C) tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

A. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{3}$

B. $m=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

C. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$

D. $m=\frac{2\pm \sqrt{5}}{2}$

Trả lời:

Đáp án C

$y^{\text{'}}=3x^2-3m$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $m>0 \left(1\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có phương trình

$y=-2mx+2\iff 2mx+y-2=0$

Diện tích tam giác IAB là

$$\begin{gathered} S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}.IA.IB.\sin \widehat{AIB} \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi $\widehat{AIB}=90°$ tức là $\Delta IAB$ vuông tại I.

Khi đó $d\left(I,AB\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \frac{\left|2m{x}_I+y_I-2\right|}{\sqrt{{\left(2m\right)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\begin{gathered} \iff 2\left|2m-1\right|=\sqrt{2}.\sqrt{4m^2+1} \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\\ m=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right. \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta được $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$