Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y=x^4-2\left(m+1\right)x^2+m^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

A. m = 0

B. m = -1, m = 0

C. m = 1

D. m = 1, m = 0

Trả lời:

Đáp án A

Cách 1: PP tự luận

Ta có $y^{\text{'}}=4x\left(x^2-m-1\right)$

Xét $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$. Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì $m>-1$

Tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2\right),B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right),C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì $H\left(0;-2m-1\right)$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{{\left(m+1\right)}^4}=\sqrt{m+1}\iff {\left(m+1\right)}^4=m+1 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=-1\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ hoặc $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.

Cách 2: PP trắc nghiệm

Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0\iff m>-1$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $b^3+8a=0$ $\iff -8{\left(m+1\right)}^3+8=0\iff m=0$