Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số  y=ax^3-ax^2+1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số  $y=a{x}^3-a{x}^2+1$ có điểm cực tiểu  $x=\frac{2}{3}$.

Nếu  $a=0$ thì  $y=1$: Hàm hằng nên không có cực trị.

● Với  $a\ne 0$, ta có  $y\text{'}=3a{x}^2-2ax=ax\left(3x-2\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right..$

    ▪  $a>0\stackrel{}{\to }y\text{'}$ đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua  $x=\frac{2}{3}\stackrel{}{\to }$ hàm số đạt cực tiểu tại điểm  $x=\frac{2}{3}$. Do đó  $a>0$ thỏa mãn.

    ▪  $a<0\stackrel{}{\to }y\text{'}$ đổi dấu từ "+" sang "-" khi qua  $x=\frac{2}{3}\stackrel{}{\to }$hàm số đạt cực đại tại điểm  $x=\frac{2}{3}$. Do đó  $a<0$ không thỏa mãn.

Chọn B.

Nhận xét. Nếu dùng  $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=0\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)>0\end{array}\right.$ mà bổ sung thêm điều kiện  $a\cancel{=}0$ nữa thì được, tức là giải hệ  $\left\{\begin{array}{l}a\cancel{=}0\\ y^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=0\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)>0\end{array}\right.$. Như vậy, khi gặp hàm  $y=a{x}^3+b{x}^2+cd+d$ mà chưa chắc chắn hệ số  $a\cancel{=}0$ thì cần xét hai trường hợp   $a=0$ và  $a\cancel{=}0$ (giải hệ tương tự như trên).