Tính giá trị của biểu thức: P= C 0 2017 C 1 2018 + C 1 2017 C 2 2018 +...+ C 2016 2017 C 2017 2018

Tính giá trị của biểu thức:

$P=C_{2017}^0{C}_{2018}^1+C_{2017}^1{C}_{2018}^2+\mathrm{...}+C_{2017}^{2016}{C}_{2018}^{2017}+C_{2017}^{2017}{C}_{2018}^{2018}$.

Ta có:  $P=C_{2017}^0{C}_{2018}^1+C_{2017}^1{C}_{2018}^2+\mathrm{...}+C_{2017}^{2016}{C}_{2018}^{2017}+C_{2017}^{2017}{C}_{2018}^{2018}$

 $=C_{2017}^0{C}_{2018}^{2017}+C_{2017}^1{C}_{2018}^{2016}+\mathrm{...}+C_{2017}^{2016}{C}_{2018}^1+C_{2017}^{2017}{C}_{2018}^0$

Xét khai triển:

(1 + x)²⁰¹⁷.(1 + x)²⁰¹⁸

$=\left(C_{2017}^0+x{C}_{2017}^1+\mathrm{...}+x^{2016}{C}_{2017}^{2016}+x^{2017}{C}_{2017}^{2017}\right)\left(C_{2018}^0+x{C}_{2018}^1+\mathrm{...}+x^{2017}{C}_{2018}^{2017}+x^{2018}{C}_{2018}^{2018}\right)$

Hệ số khai triển của x²⁰¹⁷ trong khai triển trên chính là:

 $P=C_{2017}^0{C}_{2018}^{2017}+C_{2017}^1{C}_{2018}^{2016}+\mathrm{...}+C_{2017}^{2016}{C}_{2018}^1+C_{2017}^{2017}{C}_{2018}^0$

Mặt khác ta cũng có:

(1 + x)²⁰¹⁷.(1 + x)²⁰¹⁸ = (1 + x)⁴⁰³⁵

 $=C_{4035}^0+x{C}_{4035}^1+\mathrm{...}+x^{4034}{C}_{4035}^{4034}+x^{4035}{C}_{4035}^{4035}$

Và trong khai triển này thì hệ số của x²⁰¹⁷ là:  $C_{4035}^{2017}$.

Do vậy, ta có:  $P=C_{4035}^{2017}$.