Tính thể tích khối chóp tam giác đều có độ dài cạnh bên bằng a căn bậc hai 2 và độ
Câu hỏi:
Tính thể tích khối chóp tam giác đều có độ dài cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) và độ dài cạnh đáy bằng a.
A. \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\).
Trả lời:
Đáp án đúng là: D
Gọi D là trung điểm của BC, H là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra \(B{\rm{D}} = C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)
Vì tam giác ABC đều nên AD vừa là trung tuyến vừa là đường cao
Do đó tam giác ABD vuông tại D
Suy ra \[{\rm{AD}} = \sqrt {A{B^2} - B{{\rm{D}}^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Do đó \({\rm{ }}AH = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Đáy hình chóp là tam giác đều cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{\rm{D}}.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Tam giác SAH vuông tại H có \(SA = a\sqrt 2 ,AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}{\rm{ }}\)
Thể tích khối chóp tam giác đều là:
\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt {15} }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\)
Vậy đáp án cần chọn là: D.
