Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên (1;+ vô cùng

Câu hỏi:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$?

A. $y=x^4+x^2+1$ 

B. $y={\log }_{2}x$

C. $y=\frac{x+2}{x+1}$ 

D. $y={2020}^x$ 

Trả lời:

Đáp án C

+) Hàm số $y=x^4+x^2+1$ có đạo hàm $y^{\text{'}}=4x^3+2x=2x\left(2x^2+1\right)$.

$y^{\text{'}}>0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

$y^{\text{'}}<0,\forall x\in \left(-\infty ;0\right)\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

Loại phương án A.

+) Hàm số $y={\log }_{2}x$ là hàm số logarit có cơ số a > 1 nên hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$. Loại phương án B.

+) Hàm số $y={2020}^x$ là hàm số mũ với cơ số a > 1 nên hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Loại đáp án D.

+) Hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ và có $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}<0,\forall x\in D$ nên nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$, suy ra hàm số cũng nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$

Vậy chọn phương án C